푸아송 분포(Poisson distribution)

 

📌 푸아송 분포 (poisson distridution)

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푸아송 확률변수는 일정한 시간 구간에서 발생하는 사건의 횟수를 추정하는데 유용하다.

예를들어, 시간당 톨게이트를 통과하는 자동차의 수, 시간 당 물품을 구매하는 고객 수와 같은 경우입니다.

 

➕ 푸아송 분포의 확률 질량 함수

 

푸아송 분포의 확률 질량 함수(pmf)입니다.

 

$$
P(X=x) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \forall x = 0,1,2,...
\\ X \sim Poisson(\lambda), \lambda >0
$$

 

• $P(X=x)$ : 한 구간에서 $x$건의 사건 발생확률
• $\lambda$ : 한 구간에서 사건 발생 평균 횟수
• $e$ : 자연상수

 

예로 들어 봅시다. 매장에서 시간당 평균 4명 정도 물품을 구매합니다. 이 때, 1시간내에 2명이 물품을 살 가능성은 얼마일까요?

 

$$
P(X=2) = \dfrac{(2.71828)^{-4}4^2}{2!} = 0.1465
$$

 

➕ 푸아송 분포 유도

여기가 중요한 부분이 아닐까 합니다. 푸아송 분포는 이항 분포로 부터 유도된 분포입니다.

 

확률변수가 $X \sim B(n,p)$라고 합시다, 이 때 사건 발생 횟수의 기댓값을 $\lambda = np$라고 두면 $p = \frac{\lambda}{n}$이 됩니다. 이를 통해 $X$의 확률을 구하면 아래와 같습니다,

 

$$
\begin{align}
P(X) &= {n \choose x} \left(\dfrac{\lambda}{n} \right)^x \left(1- \dfrac{\lambda}{n} \right)^{n-x}
\\ &= \dfrac{n!}{x!(n-x)!} \cdot \dfrac{\lambda^x}{n^x} \cdot \dfrac{n^x}{(n-\lambda)^x} \cdot \left(1-\dfrac{\lambda}{n} \right)^n
\\ &= \dfrac{\lambda^x}{x!} \cdot \dfrac{n(n-1)...(n-x+1)}{(n-\lambda)^x} \cdot \left(1-\dfrac{\lambda}{n} \right)^n
\end{align}
$$

해당 식에서 $n \rightarrow \infty$로 극한을 취하면

 

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\lambda}{n} = 0, \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n-1)...(n-x+1)}{(n-\lambda)^x} = 1
\\ \lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{-\frac{n}{\lambda} \cdot -\lambda} = e^{-\lambda}
$$ 

 

때문에 $P(X) \rightarrow \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$가 된다.

 

확률 합 ($\sum P(X=x)$)

확률의 총합은 1이되는데요 한번 알아봅시다.

$$
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty}P(X=x) &= \sum_{x=0}^{\infty}\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}
\\ &= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^x}{x!}
\\ &= e^{-\lambda}e^\lambda =1
\end{align}
$$

 

➕ 푸아송 분포 평균, 분산

 

푸아송 분포의 평균과 분산은 모두 같습니다.

$$
E(X) = Var(X) = \lambda
$$

증명 : 푸아송 분포 증명