이항 분포 평균, 분산 증명

이항 분포 포스팅 : 이항분포.

이항 분포, 베르누이 분포(Binomial, Bernoulli distributuin)

 

📌 이항 분포 평균 ($E(X) = np$)

 

$$
\mu = E(X) = np
$$

 

◾ 증명

우선 이항 분포는 이산확률분포이고, 이산확률분포의 평균은 아래와 같다.

 

$$
\sum_{x=1}^n x P(X=x)
$$

 

이항 분포에서 확률 질량 함수(pmf)는 $P(X=x)$는 $\dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x (1-p)^{n-x}$이므로 이를 대입하여 증명하면

 

$$
\begin{align}
E(X) &= \sum_{x=0}^n xP(X=x) = \sum_{x=1}^n x \cdot \dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x (1-p)^{n-x}
\\ &= \sum_{x=1}^n \dfrac{n!}{(x-1)!(n-x)!} p^{x-1} \cdot p \cdot (1-p)^{n-x}
\end{align}
$$

 

위 식에서 $ y= x-1$로 두어 치환하여 풀어봅시다.

 

$$
\begin{align}
&= \sum_{y=0}^{n-1} \dfrac{n \cdot (n-1)!}{(y)!(n-y-1)!} p^{y} \cdot p \cdot (1-p)^{n-y-1}
\\ &=np \cdot \sum_{y=0}^{n-1} \dfrac{(n-1)!}{(y)!(n-y-1)!} p^{y} \cdot (1-p)^{n-y-1}
\end{align}
$$

 

마지막 식의 summation 부분은 결국 총 횟수가 $n-1$이고, 성공 횟수가 $y-1$인 이항 분포의 확률 합을 나타냅니다. 확률의 합은 1이니까 결국

 

$$
\mu = E(X) = np \cdot 1 =np
$$

 

📌 이항 분포 분산 ($Var(X) = np(1-p)$)

$$
\sigma^2 = Var(X) = np(1-p)
$$

 

◾ 증명

분산을 구하기 위한식은

 

$$
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2
$$

 

위 평균을 구한식을 보면 $E(X)^2 = (np)^2$ 입니다. $E(X^2)$를 구해봅시다.

 

$$
\begin{align}
E(X^2) &= \sum_{x=0}^n x^2 P(X=x) = \sum_{x=1}^n x^2 \cdot \dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x (1-p)^{n-x}
\\ &= \sum_{x=1}^n x \cdot \dfrac{n!}{(x-1)!(n-x)!} p^{x-1} \cdot p \cdot (1-p)^{n-x}
\end{align}
$$

 

평균 때와 똑같이 $y=x-1$로 두어 치환하여 풀면

 

$$
\begin{align}
&= \sum_{y=0}^{n-1} (y+1) \cdot \dfrac{n \cdot (n-1)!}{(y)!(n-y-1)!} p^{y} \cdot p \cdot (1-p)^{n-y-1}
\\ &=np \cdot \sum_{y=0}^{n-1} (y+1) \cdot \dfrac{(n-1)!}{(y)!(n-y-1)!} p^{y} \cdot (1-p)^{n-y-1}
\\ & = np \left(\sum_{y=0}^{n-1} y\cdot \dfrac{(n-1)!}{(y)!(n-y-1)!} p^{y} \cdot (1-p)^{n-y-1} + \sum_{y=0}^{n-1} 1 \cdot \dfrac{(n-1)!}{(y)!(n-y-1)!} p^{y} \cdot (1-p)^{n-y-1}\right)
\end{align}
$$

 

np 안의 첫번째 식은 위에서 보았던 평균식이 됩니다. 즉 $n-1$이 총 횟수, 성공 횟수가 $y$인 평균이 됩니다.

 

따라서 첫 식은 $E(Y) = (n-1)p$가 됩니다.

두번째 식은 평균에서 보았던 확률의 합의식이기 때문에 1이 됩니다. 따라서

$$
E(X^2) = np[(n-1)p +1] = np(np+(1-p))
$$

$$
\begin{align}
Var(X) &= E(X^2) - E(X)^2
\\ &= n^2p^2 + np(1-p) - n^2p^2
\\ &= np(1-p)
\end{align}
$$