이항 분포, 베르누이 분포(Binomial, Bernoulli distribution)

 

이번엔 베르누이 분포와 이항 분포에 대해 알아볼까 합니다!

 

📌 이항 분포(binomial distribution)

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위키백과에 따르면 이항 분포는 연속된 n번의 독립적 시행에서 각 시행이 확률 p를 가질 때의 이산 확률 분포이다. 라고 합니다. 

 

주사위 던지기로 예를 들어봅시다. 우리가 주사위를 10번 던져서 6이 나오는 횟수를 구한다고 할때,  n은 10이 될겁니다(n=10). 10번의 독립적 시행이니까요!

 

그런다음 확률 P는 1/6이 되겠네요.($p=\frac16$) 주사위의 6면중에서 6이 나올확률이니까요!

 

➕ 이항 분포의 확률 질량 함수

이항 분포의 확률 질량 함수는

$$
Pr(X=x) = f(x;n,p) = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}
\\ X \sim B(n,p)
$$
$$
{n \choose x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!}
$$

 

입니다. (X는 확률 변수 ) 이때 $x = 0,1,...,n$ 입니다. 총 횟수 n중에 '성공 횟수'입니다.

쉽게 설명해봅시다.
그러니까 이항 분포를 함수로 표현하였을 때

$$
{n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}
$$

가 됩니다. 이를 풀면 아래와 같습니다.

$$
\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}
$$

이를 쉽게 표현해보면?

$$
\dfrac{전체 시행!}{성공횟수!(전체시행-성공횟수)!}확률^{성공횟수}(1-확률)^{전체시행-성공횟수}
$$

 

만약 위 예시를 적용해보면

$$
\dfrac{10!}{6이나온횟수!(10-6이나온횟수)!}\dfrac16^{6이나온횟수}\dfrac56^{10-6이나온횟수}
$$

 

좀 이해가 됐을까요?

 

이를 통해 실제 $Pr(K=k)$를 구해봅시다. 주사위를 10번 던지는 행위에서 6이 나올 횟수 k는 0,1,...,10이므로

$$
\text{6이 0번 나왔을 때(x=0)} : \frac{10!}{0!\times10!}(\frac16)^0(\frac56)^{10}=0.161051
\\
\text{6이 1번 나왔을 때(x=1)} : \frac{10!}{1!\times9!}(\frac16)^1(\frac56)^{9}=0.323400
\\
...
\\
\text{6이 10번 나왔을 때(x=10)} : \frac{10!}{10!\times0!}(\frac16)^{10}(\frac56)^{0}\approx 0.000001
$$

$$
P(X=x) = [0.161051, 0.323400, 0.290061, 0.193374, 0.088944,
\\ 0.29648, 0.007412, 0.001402, 0.000180, 0.000012, 0.000001]
$$

이를 그래프로 표현해본다면

 

이 처럼 될것입니다.

 

➕ 이항 분포 평균, 분산

$$
\mu = E(X) = np
$$

$$
\sigma^2 = Var(X) = np(1-p)
$$

증명 : https://datanovice.tistory.com/entry/이항-분포-평균-분산-증명

 

📌 베르누이 분포(Bernoulli distribution)

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그럼 베르누이 분포는 무엇일까요? 바로 이항 분포의 특수한 사례로 시행의 결과가 오직 성공과 실패, 0과 1 등 두가지만 존재하는 경우 입니다. 예를 들어보면 동전던지기(앞과 뒷면)가 있겠네요. 굉장히 쉽죠?

 

즉 확률 변수 $X$가 가지는 값이 0혹은 1 뿐인 경우를 말합니다.(경우에 따라 1 or -1로 표현하기도 합니다.)

$$
X(succes)=1 \ \ and \ \ X(failure) =0
$$

 

➕ 베르누이 분포의 확률 질량 함수

베르누이 분포의 확률 질량 함수(pmf)는

$$
P(X=1)=p(0 \leq p \leq 1), \ \ P(X=0)=1-p
\\ \rightarrow P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}, x=0,1
$$

 

각 알파벳에 대한 뜻은 위 이항분포의 예시에서 쓴 것과 같은데 중요한 차이는 x가 1과 0뿐 인것 그리고 p는 x가 1일 확률, 1-p는 x가 0일 확률을 말합니다.

$$
X \sim Bernoulli(p), 0 \leq p \leq 1
$$

 

생각보다 어렵지 않습니다. 이항 분포는 독립시행에서의 이산확률변수의 분포. 베르누이 분포는 이산확률변수가 두가지 경우만 나오는 상황에서의 분포. !!

 

➕ 베르누이 분포 평균, 분산

평균과 분산은 아래와 같습니다.

$$
\mu = E(X) = p
$$

$$
\begin{align}
\sigma^2 = p(1-p)
\end{align}
$$

증명 : https://datanovice.tistory.com/entry/베르누이-분포-평균-분산-증명

이상 이항 분포, 베르누이 분포 였습니다! ☠️

참고

이항 분포 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전