연속균등 분포 (Continous uniform distribution)

이번엔 균등 분포에 대해 알아볼까 합니다. 그중에서도 연속형 균등 분포에 대해 알아보겠습니다.

 

📌 균등 분포(uniform distribution)

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연속균등분포는 연속 확률 분포입니다. 분포가 특정한 범위 내에서 균등하게 나타나 있는 경우입니다.

출처 : 위키백과

그래프를 보시면 a부터 b까지의 합이 1이 됩니다.(확률 밀도 함수의 경우) 위 그래프는 한 범위에서 같은 값을 같는 경우의 균등 분포입니다. 한번 난수를 생성하여 확인해봅시다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 균등 분포에서 난수 생성
np.random.seed(0)  # 재현성을 위해 시드 설정
uniform_data = np.random.uniform(0, 1, 1000)  # 0에서 1 사이의 균등 분포에서 1000개의 난수 생성

# 히스토그램 그리기 (정규화)
n, bins, patches = plt.hist(uniform_data, bins=20, density=True, color='skyblue', alpha=0.7, edgecolor='black', linewidth=1.2)
plt.title('Random uniform distirution (PDF)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# 그래프 표시
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.6)
plt.show()

 

➕ 균등 분포의 확률 밀도 함수

 

우선 집고 가야할것이. 여기선 확률 밀도 함수입니다. 즉, 연속 분포일 경우를 말하는 것입니다.

확률밀도함수는 아래와 같습니다.

 

$$
f(x) = \dfrac{1}{b-a}, a < x < b
$$

위 처럼, 연속 균등 분포를 따른 다면 아래와 같이 표기합니다.

 

$$
X \sim U(a,b)
\ X \sim Uniform(a,b)
$$

 

분포도 식도 굉장히 간단한 형태를 나타내고 있습니다.

 

➕ 균등 분포 평균, 분산

• 평균은 아래와 같습니다.

$$
\begin{align}
E(X) &=  \frac{(a+b)}{2}
\end{align}
$$

• 분산은 아래와 같습니다.

$$
\begin{align}
Var(X) &=  \frac{(b-a)^2}{12}
\end{align}
$$

평균, 분산 유도 증명 : 링크

 

이러한 분포가 과연 어떻게 쓰일까? 싶지만 결국 본인의 역할이 있기 마련입니다. 베이지안의 사전분포를 위해서 사용하기도 합니다.