연속균등 분포 평균, 분산 증명

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연속균등 분포 (Continous uniform distribution)

 

 

📌 연속균등 분포 평균 ($E(X) = \dfrac{(a+b)}{2}$)

 

$$
\mu = E(X) = \dfrac{(a+b)}{2}
$$

 

◾ 증명

연속균등 분포는 이름 그대로 연속 확률분포이고, 연속형 확률분포의 평균은 아래와 같다.

 

$$
\int x f(x) dx
$$

 

연속균등 분포에서 확률 밀도 함수(pdf)는 $f(x) = \dfrac{1}{b-a}, \ \ a < x < b$이므로 이를 대입하여 증명하면

 

$$
\begin{align}
E(X) &= \int_a^b x \cdot \dfrac{1}{b-a} dx
\\ &= \left[\dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{1}{2}x^2 \right]^b_a
\\ &= \dfrac{1}{b-a} \left(\dfrac{b^2-a^2}{2} \right)
\\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{(b-a)(b+a)}{2} = \dfrac{a+b}{2}
\end{align}
$$

 

📌 연속 균등 분포 분산 ($Var(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$)

 

$$
\sigma^2 = Var(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}
$$

 

◾ 증명

분산을 구하기 위한식은

 

$$
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2
$$

 

위 평균을 구한식을 보면 $E(X)^2 = \left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2$ 입니다. $E(X^2)$를 구해봅시다.

 

$$
\begin{align}
E(X^2) &= \int_a^b x^2 \cdot \dfrac{1}{b-a} dx
\\ &= \left[\dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{1}{3}x^3 \right]^b_a
\\ &= \dfrac{1}{b-a} \left(\dfrac{b^3-a^3}{3} \right)
\\ &= \dfrac{1}{b-a} \cdot \dfrac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3} 
\\ &= \dfrac{a^2+ab+b^2}{3}
\end{align}
$$

 

그럼 $E(X^2), E(X)^2$를 이용하여 분산을 구하면 아래와 같습니다.

 

$$
\begin{align}
Var(X) &= E(X^2)-E(X)^2
\\ &= \dfrac{a^2+ab+b^2}{3} - \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}
\\ &= \dfrac{4a^2 +4ab + 4b^2 -3a^2 -6ab -3b^2}{12}
\\ &= \dfrac{a^2-2ab+b^2}{12}
\\ &= \dfrac{(b-a)^2}{12}
\end{align}
$$