푸아송 분포 평균, 분산 증명

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푸아송 분포(Poisson distribution)

 

📌 푸아송 분포 평균 ($E(X) = \lambda$)

 

$$
\mu = E(X) = \lambda
$$

 

◾ 증명

푸아송 분포는 이산형 확률분포이고, 이산형 확률분포의 평균은 아래와 같다.

 

$$
\sum_{x=1}^n x P(X=x)
$$

 

푸아송 분포에서 확률 질량 함수(pmf)는 $P(X=x)$는 $\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$이므로 이를 대입하여 증명하면

$$
\begin{align}
E(X) &= \sum_{x=0}^{\infty} x \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} = \sum_{x=1}^{\infty} \dfrac{\lambda^{x-1} \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda}}{(x-1)!}
\\ &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty} \dfrac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}
\\ &= \lambda e^{-\lambda} \left[1+\lambda +\dfrac{\lambda^2}{2!} +... \right]
\\ &= \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = \lambda
\end{align}
$$

 

📌 푸아송 분포 분산 ($Var(X) =\lambda$)

 

$$
\sigma^2 = Var(X) = \lambda
$$

 

◾ 증명

분산을 구하기 위한식은

 

$$
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2
$$

 

위 평균을 구한식을 보면 $E(X)^2 = \lambda^2$ 입니다. $E(X^2)$를 구해봅시다.

 

$$
\begin{align}
E(X^2) &= \sum_{x=0}^{\infty} x^2 \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}
\\ &= \sum_{x=1}^{\infty} x \dfrac{\lambda^{x-1} \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda}}{(x-1)!}
\end{align}
$$

 

해당 식에서 y=x-1로 치환하여 구해봅시다.

 

$$
\begin{align}
&= \lambda \sum_{y=0}^{\infty} (y+1)\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{(y)!}
\\ &= \lambda \left(\sum_{y=0}^{\infty} y\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{(y)!} + \sum_{y=0}^{\infty} \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{(y)!} \right) \end{align}
$$

이때 $\sum_{y=0}^{\infty} y \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{(y)!}$ 는 확률변수 $Y$에 대한 포아송 분포 평균식이기 때문에 $E(Y) = \lambda$가 됩니다.

또한 $\sum_{y=0}^{\infty} \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{(y)!}$ 는 푸아송 분포의 확률 합이기 때문에 1이 됩니다. 이들을 대입하면 $E(X^2)$는 아래와 같습니다.

$$
\begin{align}
& = \lambda(\lambda +1)
\end{align}
$$

분산을 구하면 아래와 같이 람다값을 가지게 되고, 이는 평균과 같습니다.(평균 = 분산)

 

$$
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda
$$