베르누이 분포 평균, 분산 증명

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이항 분포, 베르누이 분포(Binomial, Bernoulli distributuin)

 

📌 베르누이 분포 평균 ($E(X) = p$)

 

$$
\mu = E(X) = p
$$

 

◾ 증명

베르누이 분포는 이산확률분포이고, 이산확률분포의 평균은 아래와 같다.

 

$$
\sum_{x=1}^n x P(X=x)
$$

 

베르누이 분포에서 확률 질량 함수(pmf)는 $P(X=x)$는 $p^x (1-p)^{1-x}$이므로 이를 대입하여 증명하면

 

$$
\begin{align}
E(X) &= \sum_{i=1}^2 x_i p_i = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p
\end{align}
$$

 

베르누이의 경우 성공 or 실패뿐이기 때문에 (성공일 확률 x 1) + (실패일 확률 x 0)이 평균이 됩니다.

 

📌 베르누이 분포 분산 ($Var(X) = np(1-p)$)

 

$$
\sigma^2 = Var(X) = p(1-p)
$$

 

◾ 증명

분산을 구하기 위한식은

 

$$
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2
$$

 

위 평균을 구한식을 보면 $E(X)^2 = p^2$ 입니다. $E(X^2)$를 구해봅시다.

 

$$
\begin{align}
E(X^2) &= \sum_{i=1}^2 x^2_i p_i = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p
\end{align}
$$

 

결국 $E(X) = E(X^2) = p$가 됩니다. 이를 통해 분산을 구해주면 아래와 같습니다,

 

$$
\begin{align}
Var(X) &= E(X^2) - E(X)^2
\\ & = p - p^2 = p(1-p)
\end{align}
$$