표본 분산의 확률 분포가 카이제곱 분포인가

📌 표본분산의 확률 분포 = 카이제곱 분포??

 

우선 가법성에 대해 간단히 설명하고 넘어가 보겠습니다.

$$
X \sim \chi^2(n_1), Y \sim \chi^2(n_2)
$$

 

위와 같이 $X,Y$라는 확률 변수가 있고, 이 들이 서로 독립이라면 아래와 같이 합친 자유도를 따르는 카이제곱 분포를 따릅니다.

$$
(X+Y) \sim \chi^2(n_1+n_2)
$$

 

가법성을 기억하고 표본 분산과 카이제곱의 관계를 한번 봅시다.

 

우선 표본분산 $S^2$는 아래와 같습니다.

$$
S^2 = \sum_{i=1}^n \dfrac{(X_i - \bar{X})^2}{n-1}
\\ \sum(X_i-\bar{X})^2 = (n-1)S^2
$$

 

그리고 자유도가 n일 때 카이제곱 분포는 아래과 같습니다.

$$
\sum_{i=1}^n Z_n^2 = \sum_{i=1}^n(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma})^2 \sim \chi_n^2
$$

 

이 카이제곱 식에 표본분산 식을 대입해봅시다.

$$
\sum_{i=1}^n\dfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} + \dfrac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}
$$

$$
\begin{align}
\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} &= \sum_{i=1}^n\dfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} - \dfrac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}
\\ &= \sum_{i=1}^n\dfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} - \dfrac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/n}
\end{align}
$$

 

해당식을 보면 아래와 같이 카이제곱 분포로 대입할 수 있습니다.

$$
\sum_{i=1}^n\dfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_n
\\ \dfrac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/n} \sim \chi^2_1
$$

이를 이용해 위 식에 대입하면 아래와 같습니다.

 

$$
\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_n^2 - \chi_1^2 = \chi_{n-1}^2
$$

네. 가법성의 원리에 따라 자유도가 n-1인 카이제곱 분포를 따르는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

➕ 분산분석

이런 특성을 통해 표본 분산을 통한 모 분산 추론에 카이제곱 분포를 사용합니다. 앞선 포스팅에서 설명한 범주형 자료의 검정 뿐 아니라 정규분포를 따르는 여러 데이터들의 비교(분산분석)에도 사용됩니다.